sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

 

TEORIA FÍSICA DE GRACELI GENERALIZADA ENTRE SDCTIE , TENSORES DE GRACELI, NO :

sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

setembro 20, 2021

 sistema indeterminístico Graceli ;

SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL = sdctie graceli, sistema de infinitas dimensões +

SISTEMA DE TENSOR G+ GRACELI , ESTADOS FÍSICOS -QUÍMICO-FENOMÊNICO DE GRACELI CATEGORIAS E Configuração eletrônica dos elementos químicos

SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL.

 SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL.

COM  ELEMENTOS DO SISTEMA SDCTIE GRACELI, TENSOR G+ GRACELI CAMPOS E ENERGIA, E ENERGIA, E CONFIGURAÇÕES ELETRÔNICAS DOS ELEMENTOS QUÍMICO, E OUTRAS ESTRUTURAS.

ESTADO E NÚMERO QUÂNTICO, NÍVEIS DE ENERGIA DO ÁTOMO, FREQUÊNCIA. E OUTROS.

  TENSOR G+ GRACELI, SDCTIE GRACELI, DENSIDADE DE CARGA E DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIA, NÚMERO E ESTADO QUÂNTICO. + POTENCIAL DE SALTO QUÂNTICO RELATIVO AOS ELEMENTOS QUÍMICO COM O SEU RESPECTIVO  E ESPECÍFICO NÍVEL DE ENERGIA.

SISTEMA MULTIDIMENSIONAL  GRACELI

ONDE A CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA TAMBÉM PASSA A SER DIMENSÕES FÍSICO-QUÍMICA DE GRACELI.

Configuração eletrônica dos elementos químicos. [parte do sistema Graceli infinito-dimensional].

DENTRO DE UMA CONCEPÇÃO QUE CADA ÁTOMO É FORMADO DE INFINITAs OUTRAS PARTÍCULAS, E COM INFINITAS OUTRAS ENERGIAS, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, E OUTROS FENÔMENOS, LOGO SE TEM EM CADA ÁTOMO E OU ELEMENTO QUÍMICO INFINITAS OUTRAS DIMENSÕES. COM INFINITAS VARIAÇÕES NAS CATEGORIAS DE GRACELI , QUE  SÃO: OS POTENCIAIS, TIPOS, NÍVEIS, E TEMPO DE AÇÃO ESPECÍFICO  DO FENÔMENO.

ONDE NOS SISTEMAS  DE GRACELI CATEGORIAS,  FENÔMENOS, ESTADOS, ENERGIAS, ESTRUTURAS, E OUTROS SÃO TIPOS E FORMAS DE DIMENSÕES..

FLUXOS ALEATÓRIOS DE ENERGIAS ELÉTRICA,  E FLUXOS DE SALTOS QUÂNTICOS INFINITESIMAIS E INDETERMINADOS.

SENDO QUE VARIAM CONFORME O SISTEMA INFINITO-DIMENSIONAL.

O SISTEMA INFINITO-DIMENSIONAL DE GRACELI, ASSIM, COMO O SISTEMA SDCTIE GRACELI [SISTEMA ENVOLVENDO DIMENSÕES DE GRACELI, E SUAS CATEGORIAS, ESTADOS FÍSICOS E ESTADOS FÍSICOS DE GRACELI, TRANSFORMAÇÕES E INTERAÇÕES], E OS TENSORES DE GRACELI TEM AÇÃO EM TODA A FÍSICA EM TODOS OS SEUS RAMOS E E DIVISÕES, ASSIM, COMO A QUÍMICA E A BIOLOGIA, QUE TODOS ESTES SE FUNDAMENTEM EM ENERGIAS, ONDAS, ESTRUTURAS, CATEGORIAS, ESTADOS, ESPECTROS, DIMENSÕES, E OUTROS.

OU SEJA, DENTRO DE UM SISTEMA GERAL DE GRACELI TODA FÍSICA DAS ESTRTURUAS, ENERGIAS, ONDAS, DIMENSÕES, ESTADOS, E CATEGORIAS. ESTÃO INSERIDOS NESTES SISTEMA DE GRACELI.

dentro de uma concepção que a matéria é infinitésima em termos de tipos e ínfimos diâmetro, logo esta diferenciação faz com que cada ínfima e infinitésima parte tenha ações, transformações, interaçõs, potenciaidades, e outros diferentes de uma das outras. logo se tem infinitas dimensões para cada ínfima e infinitésima parte e tipo.

VEJAMOS;

A dispersão da luz proveniente de uma lâmpada de vapor de mercúrio ao atravessar um prisma é um exemplo de análise espectroscópica.

A espectroscopia é o estudo da interação entre a radiação eletromagnética e a matéria. Os fenômenos físico-químicos que são objeto de estudo se caracterizam como interações (reflexão, refração, espalhamento elástico, interferência e difração) ou alterações nos níveis de energia de moléculas ou átomos. Os métodos espectroscópicos de análise consistem na medida da quantidade de radiação emitida ou absorvida por moléculas ou átomos. Tais métodos são classificados nas diferentes regiões do espectro eletromagnético — como raios gama, raios X, ultra-violeta, visível, infravermelho e radiofrequência —, que fornecem diferentes informações sobre a matéria em estudo ou as aplicações de interesse. Em alguns casos, o termo espectroscopia é utilizado para técnicas que não necessariamente envolvem o uso de radiação eletromagnética, como a espectroscopia acústica, de massas e de elétrons.^[1]

O resultado gráfico de uma técnica espectroscópica qualquer, a resposta como uma função do comprimento de onda - ou mais comumente a frequência - é chamado espectro. Sua impressão gráfica pode ser chamada espectrograma.

Originalmente o termo espectroscopia designava o estudo da interação entre radiação e matéria como uma função do comprimento de onda (λ). De fato, historicamente, espectroscopia referia-se a ao uso de luz visível dispersa de acordo com seu comprimento de onda, e.g. por um prisma.

Posteriormente o conceito foi expandido para compreender qualquer medida de uma grandeza como função tanto de comprimento de onda ou frequência. Assim, este termo também pode se referir a uma resposta a um campo alternado ou frequência variável (ν). Uma posterior extensão do escopo da definição adicionou energia (E) como uma variável, dada quando obtido o relacionamento muito próximo expresso por E = hν para fótons (h é a constante de Planck).

• 4Referências

História

Ver artigo principal: História da espectroscopia

Isaac Newton publicou seus trabalhos no início do século XVIII e mostrou que a luz solar é dispersada por um prisma em uma banda de cores e que as cores podem ser recombinadas em luz branca quando passadas através de um segundo prisma orientado de forma oposta. A faixa de radiação de infravermelho foi descoberta por William Herschel em 1800 ao colocar termômetros após a cor vermelha do espectro visível. Um ano depois, Johann Ritter e William Wollaston, de forma independente, encontraram o espectro ultra-violeta. Entre 1800 e 1803, Thomas Young demonstrou que a luz pode ser descrita como uma onda por meio do experimento de dupla fenda e calculou os comprimentos de onda para as sete cores de Newton em um intervalo de 424 a 675 nm. Em 1802, Wollaston encontrou linhas escuras no espectro solar. Joseph von Fraunhofer, um excelente instrumentista, fez uma descrição detalhada de cerca de 700 destas linhas escuras, marcando as mais proeminentes com letras a partir de "A" na extremidade vermelha do espectro solar.^[2][3]

As linhas escuras no espectro solar demarcadas por Fraunhofer correlacionam-se com as linhas de emissão dos elementos presentes na forma gasosa na atmosfera solar.

Gustav Kirchhoff e Robert Bunsen, em 1859 e 1860, explicaram a origem das linhas de Fraunhofer. Eles observaram que as linhas de emissão de diversos átomos quando aquecidos em um queimador coincidiam com as linhas escuras, e verificaram que as linhas D eram originárias do sódio e as linhas A e B do potássio, presentes na atmosfera solar. Kirchhoff notou que os espectros de absorção/emissão eram característicos de cada elemento. Estas análises permitiram a descoberta de novos elementos, iniciando pelo césio e rubídio em 1860.^[2][3]

Interação da radiação com a matéria

A radiação eletromagnética compreende uma ampla faixa de frequências, o que equivale dizer, portanto, a uma ampla faixa de energias. Cada tipo de radiação interage, por este motivo, de forma diferente com a matéria. A tabela a seguir mostra a influência que cada tipo de radiação causa na matéria, cada qual podendo-se obter diferentes informações.^[1]

Energia (J mol-1)	Frequência (Hz)	Comprimento de onda	Número de onda (cm-1)	Tipo de espectroscopia	Interação
1x10-3 a 1x10-1	3x106 a 3x108	1 m a 100 m	1x10-4 a 1x10-2	Ressonância magnética nuclear	alteração de spin
1x10-1 a 10	3x108 a 3x1010	1 cm a 100 cm	1x10-2 a 1	Ressonância paramagnética eletrônica	alteração de spin
10 a 1x103	3x1010 a 3x1012	100 µm a 10 000 µm	1 a 100	Espectroscopia de microondas	alteração da orientação/rotação
1x103 a 1x105	3x1012 a 3x1014	1 000 nm a 100 000 nm	100 a 1x104	Espectroscopia de infravermelho	alteração da configuração/vibração
1x105 a 1x107	3x1014 a 3x1016	10 nm a 1 000 nm	1x104 a 1x106	Espectroscopia UV/visível	alteração da distribuição eletrônica
1x107 a 1x109	3x1016 a 3x1018	100 pm a 10 000 pm	1x106 a 1x108	Espectroscopia de raio X	alteração da distribuição eletrônica
1x109 a 1x1011	3x1018 a 3x1020	1 pm a 100 pm	1x108 a 1x1010	Espectroscopia gama	alteração da configuração nuclear

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Instrumentação

Interferência é um fenômeno descrito pelo cientista inglês Thomas Young, sendo que este fenômeno representa a superposição de duas ou mais ondas num mesmo ponto. Esta superposição pode ter um caráter de aniquilação, quando as fases não são as mesmas (interferência destrutiva) ou pode ter um caráter de reforço quando as fases combinam (interferência construtiva).

É muito interessante a aplicação do princípio da interferência no entendimento da Mecânica Quântica. Exemplo: Uma perturbação, tipo um golpe, numa superfície líquida geraria uma onda em todas as direções a partir do ponto de incisão. Ao deparar-se com um anteparo interferindo no caminho das ondas com duas fendas abertas, ao passarem por este, o desenho das ondas seria redefinido e, ao atingir um segundo anteparo com quatro fendas, teríamos um desenho clássico das "franjas" gerado pelas ondas. Ao fazermos uma experiência semelhante com partículas tipo elétrons ou nêutrons, seria esperado um desenho diferente, baseado na física clássica, onde ao atingirem o primeiro artefato, passariam pelas duas fendas e atingiriam o segundo artefato em duas fendas também, sem invocar o desenho clássico de franjas (ondas). No entanto, isso não ocorre. O desenho final é o mesmo das "franjas", o que demonstra um comportamento ondular nessas partículas. O que conclui uma dualidade de propriedades: ora partícula, ora onda. Esse é a chamada dualidade onda-corpúsculo.^[1]

• 4Ligações externas

Mecanismo

Pelo princípio da superposição de ondas, um ponto onde duas ou mais ondas se manifestam, o deslocamento resultante neste ponto é igual à soma dos deslocamentos de cada onda que ali se manifesta. Um ponto onde há encontro de cristas de ondas de mesma frequência, então a soma da amplitude da onda resultante, é a soma da amplitude de cada onda, resultando em uma interferência construtiva. Se a crista de uma onda encontra o vale de uma outra onda, o resultado do deslocamento é a diferenças entre as amplitudes de onda, este resultado é denominado de interferência destrutiva.

Suponha que uma onda ${\displaystyle y_{1}(x,t)=y_{m}sen(kx-wt)}$ se propaga em uma corda, juntamente com uma outra ${\displaystyle y_{2}(x,t)=y_{m}sen(kx-wt+\phi )}$, ${\displaystyle y_{2}}$ deslocada ${\displaystyle \phi }$ em relação à primeira. As duas ondas têm a mesma frequência angular ${\displaystyle w}$ e, portanto, a mesma frequência ${\displaystyle f}$, o mesmo número de onda ${\displaystyle k}$ e a mesma amplitude ${\displaystyle y_{m}}$. Ambas se propagam no sentido positivo do eixo x, com a mesma velocidade. Elas somente se diferem pelo ângulo constante ${\displaystyle \phi }$, denominado constante de fase, uma está defasada de ${\displaystyle \phi }$ em relação à outra. Segundo o principio de superposição, a onda resultante é a soma das duas outras e tem um deslocamento igual a ${\displaystyle y'(x,t)=y_{1}(x,t)+y_{2}(x,t)=y_{m}sen(kx-wt)+y_{m}sen(kx-wt+\phi )}$, resultando em ${\displaystyle y'(x,t)=[2y_{m}cos{1 \over 2}\phi ]sen(kx-wt+{1 \over 2}\phi )}$.

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 Essa onda resultante está exemplificada na tabela abaixo:

	Exatamente em fase	Exatamente fora de fase	Resultado intermediário
Ondas ${\displaystyle y_{1}(x,t)}$ e ${\displaystyle y_{2}(x,t)}$
Onda resultante
Fórmula	${\displaystyle y'(x,t)=[2y_{m}cos{1 \over 2}\phi ]sen(kx-wt+{1 \over 2}\phi )}$ Com ${\displaystyle \phi =n2\pi }$, para ${\displaystyle n=0,\pm 1,\pm 2...}$	${\displaystyle y'(x,t)=[2y_{m}cos{1 \over 2}\phi ]sen(kx-wt+{1 \over 2}\phi )}$ Com ${\displaystyle \phi =n\pi }$, para ${\displaystyle n=\pm 1,\pm 3,\pm 5...}$	${\displaystyle y'(x,t)=[2y_{m}cos{1 \over 2}\phi ]sen(kx-wt+{1 \over 2}\phi )}$ Com ${\displaystyle \phi =n\pi }$, para ${\displaystyle n\neq 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3...}$

Interferência de ondas de duas fontes pontuais.

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Considere, por exemplo, o que acontece quando duas pedras idênticas são jogadas em uma piscina de água em locais diferentes. Cada pedra gera uma onda circular de propagação para o exterior a partir do ponto onde a pedra foi deixada cair. Quando as duas ondas se sobrepõem, o deslocamento da água num ponto particular é a soma dos deslocamentos das ondas individuais. Em alguns pontos, estes estarão em fase, o que produzirá um deslocamento máximo. Noutros locais as ondas estarão em oposição de fase e não haverá nenhum deslocamento do líquido nesses pontos. Assim, as partes da superfície serão estacionárias - estas são vistas na figura acima, e para a direita como linhas estacionárias azul-verdes irradiando a partir do centro.^[2]

Ondas planas

Disposição geométrica para duas interferências de ondas planas

Uma forma simples de padrão de interferência é obtida se duas ondas planas da mesma frequência cruzam em ângulo. Interferência é essencialmente um processo de redistribuição de energia. A energia que é perdida a interferência destrutiva é recuperada na interferência construtiva. Uma onda se desloca na horizontal, e a outro está viajando para baixo segundo um ângulo θ para a primeira onda. Assumindo que as duas ondas estão em fase no ponto B, então as mudanças de fase relativas ao longo do eixo x. A diferença de fase no ponto A é dada por

${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {2\pi d}{\lambda }}={\frac {2\pi x\sin \theta }{\lambda }}}$

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Pode ser visto que as duas ondas estão em fase quando

${\displaystyle {\frac {x\sin \theta }{\lambda }}=0,\pm 1,\pm 2,...}$,

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e são meio ciclo fora de fase quando

${\displaystyle {\frac {x\sin \theta }{\lambda }}=\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {3}{2}},...}$

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Interferência construtiva ocorre quando as ondas estão em fase, e a interferência destrutiva quando eles são um meio ciclo de fase. Assim, um padrão de franjas de interferência é produzido, em que a separação do máximo é

${\displaystyle d_{f}={\frac {\lambda }{\sin \theta }}}$

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e d_f é conhecido como o espaçamento de franjas. As franjas são observadas onde as duas ondas se sobrepõem e o espaçamento de franja é uniforme.^[2]

Ondas esféricas

Uma fonte pontual produz uma onda esférica. Se a luz a partir de duas fontes pontuais se sobrepõem,a interferência padrão mapeia o caminho em que a diferença de fase entre as duas ondas varia no espaço. Isto depende do comprimento de onda e das distâncias relativas das fontes pontuais. A figura à direita mostra a interferência entre duas ondas esféricas pontuais de diferentes comprimentos de onda e distância de fontes. Os aumentos de comprimento de onda de cima para baixo, e a distância entre as fontes da esquerda para a direita. Quando o plano de observação é suficientemente longe, o padrão de franjas serão uma série de linhas quase retas, uma vez que as ondas serão, então, quase planas.^[2]

Múltiplas Ondas

Frequentemente acontece de duas ou mais ondas passarem simultaneamente pela mesma região. Quando ouvimos um concerto, por exemplo, as ondas dos vários instrumentos chegam aos nossos ouvidos ao mesmo tempo. Essa interferência ocorre quando há superposição de varias ondas em um mesmo ponto, desde que as diferenças de fase entre elas permaneçam constantes durante o período de observação.

Quando há superposição de varias ondas de uma mesma freqüência e amplitude a onda resultante se resume a zero (ou seja, interfere destrutivamente, cancelam-se). Exemplos disso são a rede de difração e o sistema trifásico de energia. Em ambos, o resultado é conseguido por um espaçamento uniforme das fases. É fácil ver que o conjunto de ondas vai cancelar se elas têm a mesma amplitude e suas fases são igualmente espaçadas. Usando fasores, cada onda pode ser representada como ${\displaystyle Ae^{i\varphi _{n}}}$para ${\displaystyle N}$ ondas de ${\displaystyle n=0}$ à ${\displaystyle n=N-1}$, onde ${\displaystyle \varphi _{n}-\varphi _{n-1}={2\pi \over N}}$.

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Para mostrar que ${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}Ae^{i\varphi _{n}}=0}$ basta simplesmente assumir o inverso, em seguida, multiplicar ambos os lados por ${\displaystyle e^{i{2\pi \over N}}}$./////////

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O interferômetro de Fabry-Perot utiliza a interferência entre as reflexões múltiplas. Uma rede de difração pode ser considerada como um interferômetro de múltiplos feixes, uma vez que os picos que ela produz são gerados por interferência entre a luz transmitida por cada um dos elementos de rede.^[2]

Experiência de Young

Ilustração da Experiência de Young

Uma das formas mais comuns de representar e ilustrar o fenômeno da interferência é através da Experiência da Dupla Fenda de Thomas Young que foi criado usando, além da interferência, a difração. O físico britânico criou seu experimento a partir de dois anteparos, na imagem, "S1" e "S2", e uma tela de observação "F"; no primeiro anteparo ele fez um pequeno orifício "a" e, no segundo, dois orifícios "b" e "c". A luz do sol entrava por "a", difratando-se até atingir o segundo anteparo, onde passava pelas fendas "b" e "c" e, a partir daí, difratava-se novamente na região entre "S2" e "F", ocorrendo uma sobreposição das ondas gerando interferências, tanto construtivas quanto destrutivas, dependendo de onde.^[3] Dessa forma, na tela de observação, facilmente notava-se um padrão, como o da imagem ao lado, de interferências: as áreas brancas eram regiões de interferência construtiva, onde a luz chegava intensamente, e as áreas negras regiões de interferência destrutiva, nas quais nem sequer havia presença de luminosidade. Assim, é possível notar como a fase das ondas no momento em que se sobrepõe influencia totalmente a onda resultante.^[4] Em 2016, físicos irradiaram um sinal de luz até um satélite e observaram , após o regresso dos fótons, uma interferência quântica^[5] confirmando que características quânticas das partículas permaneceram intactas em uma viagem de 5 mil quilômetros ao espaço.^[6]

Padrão de difração e interferência na fenda dupla.

Difração (AO 1945: difracção) é um fenômeno físico que acontece quando uma onda encontra um obstáculo. Na física clássica, o fenômeno da difração é descrito como uma aparente flexão das ondas em volta de pequenos obstáculos e também como o espalhamento, ou alargamento, das ondas após atravessar orifícios ou fendas. Esse alargamento ocorre conforme o princípio de Huygens. O fenômeno da difração acontece com todos os tipos de ondas, incluindo ondas sonoras, ondas na água e ondas eletromagnéticas (como luz visível, raios-X e ondas de rádio). Assim, a comprovação da difração da luz foi de vital importância para constatar sua natureza ondulatória.

Os objetos físicos também têm propriedades ondulatórias (em escala atômica), ocorrendo, portanto, difração com a matéria, o que pode ser estudado de acordo com os princípios da mecânica quântica.^[1]

Ainda que a difração ocorra sempre quando as ondas em propagação encontram mudanças, seus efeitos geralmente são marcados por ondas cujo comprimento é comparável às dimensões do objeto de difração. Por isso, a difração é observada mais recorrentemente nas ondas sonoras, pois são ondas com comprimento grande. Interações sonoras com dimensões entre 2 cm a 20 m são perceptíveis para nós, humanos. A difração da luz, nesse sentido, torna-se extremamente mais rara de acontecer, ou perceber, tendo em vista seu pequeníssimo comprimento de onda de 555nm,^[2] embora possam ocorrer fenômenos grandiosos com interferência óptica, tais como o arco-íris.

Se o objeto obstrutor oferecer múltiplas fendas, poderá resultar em um padrão complexo de intensidade variável. Isso se deve à interferência, isto é, a uma sobreposição de partes diferentes de uma onda que se propaga até o observador por caminhos diferentes. Richard Feynman escreveu: “Ninguém nunca foi capaz de definir a diferença entre interferência e difração satisfatoriamente. É somente uma questão de linguagem, e não há diferenças físicas específicas ou importantes entre elas. Tem-se, entretanto, que difração é o fenômeno devido a um obstáculo, já interferência refere-se mais a uma interação entre dois ou mais fenômenos ondulatórios."

• 10Referências

História

Padrão no anteparo: franjas claras (interferência construtiva) e escuras (interferência destrutiva).

Embora atualmente o fenômeno da difração seja estudado por si mesmo, antigamente seus estudos foram baseados na curiosidade em desvendar satisfatoriamente a discussão sobre a natureza ondulatória da luz.

Os efeitos da difração da luz foram primeiramente analisados e descritos pelo padre jesuíta e cientista italiano Francesco Maria Grimaldi, que cunhou o termo "difração" (do latim diffringere, 'quebrar em pedaços'), referindo-se à luz quebrando-se em diferentes direções. Seu conceito de luz era essencialmente ondulatório e explicou a difração da luz analogamente à difração de ondas na água, em que as ondas do mar quebram seu movimento regular ao encontrar um barco ancorado. Determinou também uma relação entre a densidade do meio onde a luz propaga-se e a sua velocidade.^[3] Os resultados das observações de Grimaldi foram publicados postumamente em 1665.

Muitos outros cientistas preocuparam-se em determinar a curiosa natureza da luz, estudando, portanto, os efeitos da difração. Surgiram, no século XVII, dois pensamentos científicos distintos: a teoria corpuscular da luz, defendida por Isaac Newton; e a teoria ondulatória da luz, defendida por Christiaan Huygens. Em ambos os lados, vários cientistas apoiavam uma teoria ou outra com seus conhecimentos e constatações e acabavam refutando inteiramente os aspectos da teoria contrária, pois o conceito de partícula (corpúsculo) é totalmente diferente do conceito de onda. Uma partícula transporta matéria, uma onda não o faz; uma partícula pode se locomover no vácuo, uma onda precisa de um meio para propagar-se (era o que se pensava naquele período); uma onda atravessa obstáculos menores que seu comprimento, uma partícula não o faz.^[4]

Escolheu-se o modelo de Newton como o mais coerente por sua explicação sobre as cores e por causa de sua fama devido às suas outras realizações, ainda que a teoria ondulatória de Huygens não tenha caído no esquecimento. Após 123 anos, Thomas Young questionou várias afirmações da teoria corpuscular. As afirmações de Newton não explicavam por que a luz tinha a mesma velocidade mesmo sendo emitida por corpos diferentes e por que certos corpúsculos eram refletidos e outros refratados. Para ele, considerar a luz uma onda explicaria bem melhor esses fenômenos: as ondas luminosas poderiam, assim como as ondas do mar, anular-se umas às outras ou intensificar-se. Young utilizou desses conceitos para explicar a interferência (através do experimento da dupla fenda) e os “anéis de Newton” tão conhecidos. Entretanto, quanto ao fenômeno da difração e da dupla refração, as explicações de Young deixaram a desejar.^[5]

Explicação teórica

Representação esquemática da experiência da dupla fenda de Young, em que se observam a difração e a interferência.

O fenômeno da difração está relacionado com as propriedades de ondas ao transportarem energia de um ponto ao outro do espaço. E é intimamente relacionado ao fenômeno da interferência.

Como as ondas são caracterizadas por uma variação periódica de uma qualquer propriedade, podem interagir entre si quando duas ou mais ondas atravessam a mesma região do espaço. Pode acontecer também que uma onda tenha a sua velocidade e/ou direção mudadas, ao interagir com um objeto ou meio material interposto em seu caminho.

A difração, como dito acima, está relacionada com a interação de uma onda com um obstáculo, ou então quando encontra um orifício através do qual possa atravessar um obstáculo.

A onda então, ao contornar ou atravessar um obstáculo, toma diferentes caminhos (diferentes trajetórias), cujos comprimentos totais podem variar. Da variação dos comprimentos totais atravessados, diversas ondas oriundas da original (segundo o princípio de Huygens, que diz que cada frente de onda se comporta como uma nova fonte pontual) acabam por se recombinar ao passar por um dado ponto do espaço.

Ao passarem por esse ponto do espaço, ondas difratadas de uma mesma origem tem a mesma fase e por isso podem interagir uma com a outra naquele ponto. A recombinação se processa porque as ondas, exibindo propriedades periódicas ao longo do espaço e ao longo do tempo combinam seus máximos e mínimos de amplitude de uma maneira que depende do total de ondas interagentes e das distâncias totais percorridas. O resultado disso varia entre dois extremos: num caso, num dado ponto, um máximo de amplitude se combina com um mínimo, produzindo uma anulação parcial ou total da energia da onda (interferência destrutiva). Por outro lado, quando dois ou mais máximos ou dois ou mais mínimos se encontram, a energia observada é maior (interferência construtiva). Esse fenômeno é claramente observado na experiência da dupla fenda, onde uma onda atravessa duas fendas (momento em que ocorre a difração) e após passar pelas fendas, os encontros entre cristas e vales da onda causam a interferência.

Note-se que a amplitude não corresponde diretamente à intensidade da onda, já que a segunda grandeza depende do quadrado da primeira. As grandezas que se somam são as amplitudes, embora as energias totais de uma e outra onda que se interferem seja a soma das energias individuais.

Isso se dá porque, se se ativer à definição estrita de onda como fenômeno periódico e na ausência de dispersão (que é a variação da velocidade de ondas em função dos seus comprimentos de onda), uma onda pode ser representada por uma função senoidal do tempo e do espaço. (Ver abaixo)

Difração por uma fenda

Evolução temporal de um pacote de ondas de matéria (pacote gaussiano) ao incidir sobre uma fenda única. A animação foi construída a partir da solução numérica da equação de Schrödinger dependente do tempo. Observe que há a formação de um máximo central (como esperado).

Quando uma onda atravessa uma fenda que não é estreita (por exemplo, com uma largura a) a intensidade da luz em um anteparo é dependente do ângulo entre a onda e a fenda. A intensidade é máxima na direção frontal da fenda (${\displaystyle \theta =0}$, ${\displaystyle \operatorname {sen} (\theta )=0}$), mas diminui quando chega em um ângulo que depende da largura da fenda a e do comprimento de onda ${\displaystyle \lambda }$.^[6]

Para descobrir a posição dos mínimos, primeiro dividimos a fenda em duas regiões de largura a/2. Na extremidade superior da fenda, fazemos um raio luminoso r1, e na extremidade inferior, um raio r2. Como as ondas secundárias de r1 e r2 pertencem a mesma frente de onda, elas estão em fase, mas, para produzirem um mínimo devem estar defasadas de ${\displaystyle \lambda /2}$. Supondo que r1 e r2 sejam paralelas e formem um ângulo ${\displaystyle \theta }$ com o eixo central, a diferença entre as distâncias percorridas por r1 e r2 será ${\displaystyle {\frac {a}{2}}{sen}(\theta )}$. Igualando essa diferença a ${\displaystyle {\frac {\lambda }{2}}}$, obtemos o primeiro mínimo de intensidade em ${\displaystyle \operatorname {sen} (\theta )={\frac {\lambda }{a}}}$.

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Fazendo o mesmo processo para mais ondas, descobrimos os próximos mínimos em ${\displaystyle a.{sen}(\theta )=m\lambda }$, com m=(1, 2, 3...) (Pontos de intensidade zero).

Intensidade da luz difratada por uma fenda

Difração em uma fenda: posição dos mínimos

Praticamente toda a energia luminosa está no máximo central de difração, antes do primeiro mínimo de intensidade. Podemos descobrir a largura do máximo central (${\displaystyle y_{1}}$, para cada lado do eixo central) com a seguinte fórmula: ${\textstyle tan(\theta _{1})={\frac {y_{1}}{L}}}$.

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Sendo ${\displaystyle \theta _{1}}$ o ângulo relacionado à largura da fenda, obtido na equação dos mínimos de intensidade; ${\displaystyle y_{1}}$ é a distância que queremos descobrir e ${\displaystyle L}$ a distância entre a fenda e o anteparo.

Com a seguinte expressão encontramos a intensidade luminosa em função do ângulo ${\displaystyle \theta }$:

${\displaystyle I(\theta )=I_{m}\left({\frac {sen(\alpha )}{\alpha }}\right)^{2}}$, 

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onde ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi a}{\lambda }}sen{\theta }}$ e os mínimos ocorrem em ${\textstyle \alpha =m\pi }$ (m=1, 2, 3...).

Difração em fenda dupla

A difração em fenda dupla é demonstrada pela experiência da dupla fenda de Thomas Young. Quando uma onda é difratada por duas ou mais fendas, o padrão em um anteparo é uma mistura de difração e interferências construtivas e destrutivas.

Intensidade da luz difratada por duas fendas

${\displaystyle I(\theta )=I_{m}(cos^{2}\beta )\left({\frac {sen(\alpha )}{\alpha }}\right)^{2}}$,/////////

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Onde ${\textstyle \beta ={\frac {\pi d}{\lambda }}sen{\theta }}$ e ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi a}{\lambda }}sen{\theta }}$ /////////

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(d é a distância entre os centros das fendas e a é a largura das fendas).

Difração por uma abertura circular

Agora, a abertura é uma fenda de diâmetro ${\displaystyle d}$, e não mais uma abertura retangular.

A posição do primeiro mínimo na figura de difração de uma abertura circular é dada por ${\textstyle sen(\theta )=1.22{\frac {\lambda }{d}}}$.

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Redes de difração

A rede de difração é uma generalização da fenda dupla a ${\displaystyle N}$ fendas igualmente espaçadas. A rede de difração decompõe a onda num espectro, mostrando os máximos e mínimos associados a cada comprimento de onda, que resultam respectivamente de interação construtiva e interação destrutiva entre os feixes emitidos com diferentes ângulos.

Considerando uma rede de difração com ${\displaystyle N}$ fendas, tem-se que os máximos e os mínimos observados no espectro obtido obedecem às seguintes equações:

• Máximos: ${\displaystyle Ndsen(\theta )=Nm\lambda }$, ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$/////////

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• Mínimos: ${\displaystyle Ndsen(\theta )=Nm\lambda +k\lambda }$, ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$/////////

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Onde:

• ${\displaystyle d}$ - distância entre as fendas;
• ${\displaystyle \theta }$ - ângulo entre o feixe e a normal à rede de difração;
• ${\displaystyle \lambda }$ - comprimento de onda da radiação;
• ${\displaystyle N}$ - número de fendas da rede de difração;
• ${\displaystyle k}$ - número natural que varia de ${\displaystyle 1}$ a ${\displaystyle N-1}$ (uma vez que entre dois máximos de ordem consecutiva existem ${\displaystyle N-1}$ mínimos).

Note-se que o número natural ${\displaystyle m}$ designa a ordem do máximo (ou dos ${\displaystyle N-1}$ mínimos correspondentes) em estudo. Por exemplo, o máximo de 3.ª ordem é o máximo que surge no espetro que se obtém, substituindo ${\displaystyle m}$ por ${\displaystyle 3}$ na equação que define as posições dos máximos.

Difração de Fraunhofer

É o tipo de difração mais simples. Pode-se dizer que este tipo de difração é aquela em que a onda difratada é plana (pelo menos aproximadamente, na pressão de precisão observado) e exige um tratamento matemático mais simples.

${\displaystyle dE={\frac {\epsilon _{L}}{R}}sen(\omega t-kr)dy}$

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Difração de Fresnel

Ponto Claro de Fresnel

Figura de difração de um disco, mostrando o ponto claro de Fresnel no centro da sombra do objeto.

Em 1819, um concurso promovido pela Academia Francesa de Ciências, visando prova que a teoria ondulatória da luz estava errada, premiaria o melhor trabalho sobre difração. O vencedor foi o físico e engenheiro Augustin-Jean Fresnel, que defendia a difração. Entretanto, Siméon Denis Poisson, não satisfeito com a teoria de Fresnel, alertou a comissão julgadora sobre algo estranho que aconteceria caso Fresnel estivesse certo. Ao passarem pela borda de um objeto esférico ou um disco, as ondas luminosas convergiriam para a sombra desse objeto, observando-se um ponto de luz no centro da sombra. Um teste foi realizado pela comissão, provando que o ponto claro de Fresnel existia.

Difração de Fresnel

É o tipo de difração cujo tratamento matemático é mais complexo. Nesse caso, a onda que se desloca não é plana. Para se calcular a distribuição da intensidade da luz difratada em função do ângulo de espalhamento é comum se usar da espiral de Cornu.

A equação da difração de Fresnel é usada para calcular o padrão de difração criado por ondas passando por uma fenda ou em volta de um objeto, quando visto relativamente próximo do objeto (diz-se que a onda se propaga em um "campo próximo". Esse campo pode ser calculado pelo número de Fresnel). Múltiplas difrações de Fresnel podem causar a reflexão especular.

Figura 1: Difratômetro de raios X (em pó) do Instituto de Química da UFRJ, modelo Ultimate IV - Rigaku.

Difração de raios X é um fenômeno no qual os átomos de um cristal, em virtude de seu espaçamento uniforme, causam um padrão de interferência das ondas presentes em um feixe incidente de raios X. É uma técnica usada para determinar a estrutura atômica e molecular de um cristal, na qual os átomos cristalinos fazem com que um feixe de raios X incidentes difrate em muitas direções específicas. Medindo os ângulos e as intensidades dos feixes difratados, um cristalógrafo pode produzir uma imagem tridimensional da densidade de elétrons dentro do cristal. A partir desta densidade de elétrons, as posições médias dos átomos no cristal podem ser determinadas, bem como suas ligações químicas, sua desordem e várias outras informações^[1]. O material analisado é finamente triturado, homogeneizado e a composição média em massa é determinada (difração de raios X em pó)^[2].

• 6Referências

História

Figura 2: Estrutura química da molécula de ftalocianina metálica sintetizada pela primeira vez pelos químicos suíços H. de Diesbach e E. von der Weid em 1927. O átomo central M é um átomo de cobre.

Em 1933, o químico inglês Patrick Linstead lançou-se no estudo da estrutura atômica da ftalocianina de cobre. Para isso, ele utilizou a difração de raios X - essa técnica não é microscopia, pois fornece uma imagem “indireta” da molécula. Como seu nome indica, ela se baseia no fenômeno de difração – o mesmo que tanto instiga a microscopia. Raios X enviados sobre um cristal da amostra a ser analisada, fornecem uma imagem geométrica, de acordo com as distâncias interatômicas, o que permite remontar à estrutura do cristal. Num cristal de moléculas, bilhões de moléculas idênticas são empilhadas. Mantidas no lugar por suas vizinhas, elas pouco se mexem: este é um ponto crucial para realizar a imagem. Quando o cristal é suficientemente fino, a luz visível consegue atravessá-lo. Entretanto, seu comprimento de onda (de 400 a 800 nanometros) é grande demais para transmitir uma informação: é um pouco como se tentássemos agarrar uma avelã com uma retroescavadeira. É  necessário utilizar comprimentos de onda bem menores. Os raios X convêm perfeitamente: têm comprimentos de onda equivalentes às distancias entre os átomos num cristal, ou seja, alguns nanômetros, até menos. É graças a eles, para citar apenas um dos primeiros exemplos históricos, que conhecemos a estrutura do cloreto de sódio, ou sal de cozinha: malhas quadradas de 0,4 nanometro de lado, cujos topos são ocupados por íons cloro e sódio. Patrick Linstead entregou seus cristais de ftalocianina de cobre a um jovem pesquisador, John Robertson, que efetuou longos cálculos para determinar a organização das moléculas no cristal (Figura 2) e para compreender a organização da própria molécula: trata-se de um quadrado de 1,3 nanometro de lado^[3].

Um dos métodos importantes para caracterizar o arranjo de moléculas em um cristal é o método da difração de raios X. Ele fornece a posição relativa dos átomos que constituem o cristal e, consequentemente, o arranjo espacial entre as moléculas no mesmo. É claro que as estruturas que o método fornece será aquela que a substância toma na forma sólida cristalina. Em solução, quando a molécula estiver solvatada, a estrutura poderá não ser mais exatamente a mesma.

A difração de raios X tem tido um êxito particular – e porque não dizer espetacular – na determinação da estrutura de moléculas complexas e muito complexas, que valeram aos cientistas que nela trabalharam vários prêmios Nobel. Entre as complexas, pode-se citar a estrutura da vitamina B12 e da penicilina, determinadas por Dorothy Hodgkin (Prêmio Nobel de Química em 1964). Entre as moléculas muito complexas, estão proteínas – as estruturas da mioglobina (1958) e da hemoglobina (1960) foram determinadas por Kendrew e Perutz, respectivamente, o que lhes valeu o prêmio Nobel de Química em 1962 – e a do Ácido Desoxiribonucleico – DNA – talvez a de conseqüências mais profundas na Biologia e mesmo na ciência moderna – por Watson e Cricks em 1953 (Prêmio Nobel de Medicina em 1962)^[4].

A descoberta

Figura 3: Réplica de um tubo de Crookes, utilizado por Röntgen na primeira experiência da existência dos raios X.

O século XIX ficou marcado por grandes descobertas que revolucionaram a ciência. Um dos experimentos que abriu as portas para diversos estudos foi o que envolvia a passagem de descargas elétricas através de um tubo de vidro contendo gases rarefeitos, conectado a uma bomba de vácuo (Figura 3). Com a saída do gás e a diminuição da pressão dentro do tubo, um fenômeno é observado na parte oposta ao catodo, essa começa a emitir uma incandescência esverdeada. Willian Crookes, em 1875, concluiu que essa luminescência era algum tipo de radiação que partia do terminal negativo indo em direção ao terminal positivo, denominado de raios catódicos.

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Em 1894, Wilhelm Conrad Röntgen (Figura 4) se interessou pelo trabalho publicado pelo físico Phillip Lenard, sobre os raios catódicos. Ele então iniciou uma série de experimentos com o objetivo de estudar tais radiações e foi em 8 de novembro de 1895, em mais um dia de trabalho, que ele observou que a folha de papel tratada com platinocianeto de bário, deixada próxima ao tudo de raios catódicos, brilhava no escuro, emitindo uma luz.^[5] O tubo foi coberto com uma cartolina preta e mesmo assim o papel brilhava, colocou diversos objetos entre o tubo e o papel e os mesmos pareciam ser transparentes. Foi então nesse momento que ele viu os ossos de sua mão na tela.  Após ter registrado suas observações em chapas fotográficas, fez então o anuncio a comunidade, dizendo que pela primeira vez poderia ver dentro do corpo humano sem abri-lo. Através do então denominado por ele, raios X.

Figura 5: Representação de uma estrutura cristalina de cloreto de sódio.

Em 1912, o físico alemão Von Laue sugeriu que, se os átomos apresentam uma estrutura cristalina (átomos organizados de forma a apresentarem periodicidade ao longo do espaço) e se os raios X eram ondas eletromagnéticas com comprimento de onda menor que os espaços interatômicos, então os núcleos atômicos que concentram a massa dos átomos poderiam difratar os raios X, formando franjas de difração. Quando Laue fez passar um feixe de raios X por uma amostra monocristalina e pôs um filme fotográfico após a amostra, o resultado foi que, após revelar o filme, ele apresentava pontos sensibilizados pelos raios X difratados.

As experiências de Laue despertaram grande interesse nos físicos ingleses, W. H. Bragg e seu filho W. L. Bragg, que formularam, ainda em 1913, uma equação extremamente simples para prever os ângulos onde seriam encontrados os picos de intensidade máxima de difração. Assim, conhecendo-se as distâncias interatômicas, poderiam ser resolvidas os problemas envolvidos na determinação da estrutura cristalina. Dessa forma, os Bragg determinaram sua primeira estrutura, a do NaCl (Figura 5). Transformando a difração de raios X na primeira ferramenta eficiente para determinar a estrutura atômica dos materiais, fazendo com que a técnica obtivesse rapidamente grande popularidade entre os institutos de pesquisa.

Entre as décadas de 1920 e 1930, a literatura foi inundada por estruturas cristalinas determinadas por difração de raios X. Todo mineralogista ou cristalógrafo da época tinha por obrigação determinar a estrutura cristalina de algum composto, mineral ou metal. A difração de raios X também provocou surpresa ao demonstrar a estrutura amorfa do vidro, e também foi a principal ferramenta usada por Watson e Crick, em 1953, para propor a estrutura em dupla hélice do DNA^[6].

Produção e medição de raios-X.

A fonte de raios-X de laboratório consiste em um tubo de vácuo no qual os elétrons são emitidos a partir de um filamento de tungstênio aquecido e acelerado por um potencial elétrico (tipicamente várias dezenas de kilovolts) para impactar um alvo de metal arrefecido a água. Quando os elétrons internos do alvo são ejetados e os exteriores caem para tomar seu lugar, os raios X são emitidos. Alguns têm uma distribuição contínua de comprimentos de onda entre cerca de 0,5 Å e 5 Å ("radiação branca") e alguns têm comprimentos de onda característicos dos níveis eletrônicos no alvo. Para a maioria das experiências, uma única radiação característica é selecionada usando um filtro ou monocromador^[7]. Em relação aos detectores, no passado a maioria dos trabalhos de raio-X foi feito com filme, agora são usados detectores eletrônicos. Pode utilizar-se um único ponto (por exemplo Geiger Muller, contador de cintilação ou proporcional), um detector de linha (1D) ou um detector de área (2D).

Fundamentação teórica

O fenômeno de difração de raios X por cristais resulta de um processo de espalhamento no qual os raios X são dispersos pelos elétrons dos átomos sem alteração no comprimento de onda. Um feixe difratado é produzido por tal dispersão somente quando certas condições geométricas são satisfeitas, o que pode ser expresso em qualquer uma de duas formas, a equação de Bragg, ou a de Laue. O padrão de difração resultante de um cristal, que compreende tanto as posições como as intensidades dos efeitos de difração, é uma propriedade física fundamental da substância, servindo não apenas para sua rápida identificação, mas também para a elucidação completa de sua estrutura. A análise das posições do efeito de difração leva imediatamente a um conhecimento do tamanho, forma e orientação da célula unitária. Para localizar as posições dos átomos individuais na célula, as intensidades devem ser medidas e analisadas. O mais importante para relacionar as posições dos átomos com as intensidades de difração é a equação do fator de estrutura^[8].

A dispersão

A dispersão de raios X é determinada pela densidade de elétrons dentro do cristal. Como a energia de um raio X é muito maior que a de um elétron de valência, a dispersão pode ser modelada como a dispersão de Thomson, a interação de um raio eletromagnético com um elétron livre. Este modelo é geralmente adotado para descrever a polarização da radiação dispersa, conforme descrito na derivação matemática abaixo^[9].

A intensidade da dispersão de Thomson para uma partícula com massa ${\displaystyle m}$ e carga ${\displaystyle q}$ é:

${\displaystyle I_{o}=I_{e}({\frac {q^{4}}{m^{2}c^{4}}}){\frac {1+cos^{2}2\theta }{2}}=I_{e}7,94x10^{-26}{\frac {1+cos^{2}2\theta }{2}}=I_{e}f}$

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Assim, os núcleos atômicos, que são muito mais pesados do que um elétron, contribuem de forma negligenciável para os raios-X dispersos.

Dispersão de raios X por elétrons e átomos

Os raios X são ondas eletromagnéticas e, como tal, são constituídos de um pacote de energia formado por um campo elétrico oscilante, denominado de fóton. Um fóton aos se interagir com um elétron é absorvido, elevando o elétron a um estado excitado, e ele ao voltar a seu estado natural, se torna uma fonte de ondas eletromagnética com mesma frequência e comprimento de onda do fóton absorvido (apenas em caso de espalhamentos). Dessa interação surge assim uma nova frente de onda esférica de raios X, com o elétron como sua origem, derivando sua energia do feixe incidente. Por este processo diz-se que o elétron dispersa o feixe original^[8]. Um átomo é constituído por um núcleo carregado positivamente rodeado por uma nuvem de elétrons, um para cada incremento de carga nuclear, sendo o número igual ao número atômico do elemento em questão. As ondas dispersas dos diversos elétrons num átomo combinam-se, de modo que o efeito de dispersão de um átomo pode ser considerado como essencialmente o de uma fonte pontual de raios X dispersos. A intensidade da dispersão é, obviamente, dependente do número de elétrons no átomo, mas porque os elétrons estão distribuídos ao longo do volume do átomo em vez de concentrados em um ponto, a intensidade varia com a direção. No entanto, no presente caso, no tratamento da geometria da difração, o átomo é considerado uma fonte de dispersão pontual.

Dispersão por uma linha de átomos espaçados regularmente

Figura 6: Dispersão reforçada por uma linha de átomos regularmente espaçados.

Fenômenos de interferência com ondas de água e luz são bem conhecidos. De uma forma semelhante, podem surgir interferências construtivas e destrutivas entre as ondas de raios X dispersas dos átomos. Suponha que um feixe de raios X encontre uma fileira de átomos espaçados regularmente, como na Fig. 6. As frentes de onda paralelas fazem com que cada átomo se torne uma fonte de um conjunto de ondas esféricas dispersas da mesma freqüência e comprimento de onda. Na Fig. 6 consideramos a sucessão de cristas de onda e depressões de dois átomos vizinhos em algum instante no tempo. É necessário apenas considerar a dispersão em torno de um par de átomos vizinhos, pois a distância interatômica e o comprimento de onda dos raios X determinam a geometria dos efeitos de difração. A dispersão de átomos mais distantes na fileira contribui apenas (para os mesmos sentidos angulares) para os feixes dispersos representados na Fig. 6. Todos os pontos de interseção dos dois conjuntos de arcos concêntricos são pontos em que as cristas das ondas de ambos os átomos coincidem e suas amplitudes adicionam, levando a interferência construtiva e um máximo de difração. Em pontos entre as interseções, as ondas estão mais ou menos fora de fase e levam a vários graus de interferência destrutiva ou extinção.

Uma direção óbvia de reforço é aquela perpendicular à frente de onda original. Aqui a diferença de crista de onda entre as ondas dispersas dos dois átomos é zero, e dá origem ao feixe difratado de ordem zero. À direita do feixe de ordem zero é uma direção proeminente de interseções de crista caracterizada por uma crista de onda ou diferença de fase. Este é o feixe de difração de primeira ordem. Da mesma forma, mais à direita, segunda ordem, terceira ordem, e assim por diante para a ordem n, vigas difratadas representam 2, 3, 4,. . , N diferenças na fase da onda (comprimento de onda) na fase entre as ondas dos átomos vizinhos. As ordens negativas correspondentes de difração (menos primeira ordem, menos segunda ordem, etc.) surgem no lado oposto da direção do feixe de ordem zero. Embora a Fig. 6 represente o caso especial de um feixe incidindo em ângulos retos em uma linha de átomos, o caso geral de um feixe fazendo qualquer ângulo com a fileira é inteiramente análogo^[8].

Condições para difração por uma malha linear de átomos

Figura 7: Condições para a difração de uma fileira de átomos.

Uma linha reta de átomos regularmente espaçados constitui uma rede linear. Considere que um feixe paralelo de raios X encontra-se com uma tal linha de átomos com um ângulo ${\displaystyle \bigtriangleup }$  (Fig. 7), ${\displaystyle a}$ sendo o espaçamento constante entre os átomos. Todos os átomos da linha atuam como centros para séries de ondas dispersas, e o reforço que conduz a vigas difratadas de zero, primeiro, segundo e maior ocorre em certas direções. Suponha que uma dessas direções de interferência construtiva faça um ângulo  com o eixo da linha. Então, uma vez que os raios X espalhados em D devem estar em fase com aqueles espalhados em G, os caminhos DE e FG devem diferir por um número inteiro de comprimentos de onda. Isso é:

${\displaystyle DE-FG=m\lambda }$ (equação 1)

Onde ${\displaystyle m}$ é um número inteiro, e ${\displaystyle \lambda }$ é o comprimento de onda do feixe de raio-x. De Trigonometria simples.

${\displaystyle DE=a.cos\epsilon }$, e ${\displaystyle FG=a.cos\bigtriangleup }$ (equação 2)

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Daí a diferença de trajetória é:

${\displaystyle a.cos\epsilon -a.cos\bigtriangleup =a(cos\epsilon -cos\bigtriangleup )=m\lambda }$ (equação 3)/////////

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Figura 8: Representação esquemática dos cones de difração positivos a partir de uma linha de átomos.

E a equação 3 é a condição a ser satisfeita pelas várias ordens discretas de feixes difratados a partir dessa fileira de rede. A direção de qualquer ordem dada de feixe difratado é obtida pela resolução de ${\displaystyle cos\epsilon }$ e substituindo o valor apropriado de ${\displaystyle m}$,

${\displaystyle cos\epsilon m=cos\bigtriangleup +{\frac {m\lambda }{a}}}$ (equação 4)/////////

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Obviamente, o feixe incidente poderia ter encontrado a linha de rede no ângulo ${\displaystyle \bigtriangleup }$ ao invadir a fileira de qualquer direção que seja um gerador de um cone concêntrico com a fileira e do ângulo ${\displaystyle \bigtriangleup }$ do semi ápice (Figura 8) . O local de todos os feixes de ordem zero é, então, um cone idêntico com um ápice comum no ponto de intersecção do feixe com a fileira de átomos; E os feixes incidentes e de ordem zero são geradores diametralmente opostos dos dois cones. As direções que satisfazem a equação 4 para as outras ordens difratadas do feixe encontram-se em outros cones com o mesmo ápice comum e os ângulos de semi-ápice apropriados ${\displaystyle \epsilon }$ (Fig. 8). Note-se que ${\displaystyle \epsilon _{o}}$ = ${\displaystyle \bigtriangleup }$.^[8]/////////

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À esquerda do feixe de ordem zero (Fig. 7) estão as ordens negativas do feixe difratado, a ordem -mth fazendo um ângulo ${\displaystyle \epsilon }$'- ${\displaystyle \bigtriangleup }$ à esquerda com o feixe de ordem zero e um ângulo ${\displaystyle \epsilon }$' com a fileira de rede, onde:

${\displaystyle \epsilon _{-}m-\bigtriangleup \leqq \bigtriangleup \epsilon _{m}}$ (equação 5)/////////

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Note-se que o ângulo ${\displaystyle \epsilon }$' é medido a partir da extremidade positiva da fila de rede. Ângulo ${\displaystyle \epsilon '-m-\bigtriangleup }$ é sempre menor do que ${\displaystyle \bigtriangleup -\epsilon m}$, quando o ângulo ${\displaystyle \bigtriangleup }$ < 90 °, e os dois ângulos são iguais no caso especial ${\displaystyle \bigtriangleup }$ = 90 º. O local das direções das ordens negativas do feixe difratado é assim uma série de cones à esquerda do cone de ordem zero e tendo o mesmo ápice comum que as ordens positivas. O ângulo interior do cone do semi-ápice ${\displaystyle \epsilon }$' torna-se o ângulo apical externo quando ${\displaystyle \epsilon }$' > 90 º. Uma construção trigonométrica e tratamento semelhante ao que leva à equação 4, nos fornece a seguinte equação^[8]:

${\displaystyle FG-DE'=a(cos\bigtriangleup -cos\epsilon ')=m\lambda }$ (equação 6)

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e

${\displaystyle cos\epsilon '-m=cos\bigtriangleup -m\lambda /a}$ (equação 7)

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No caso especial em que o feixe incidente é perpendicular à linha de átomos, ${\displaystyle \bigtriangleup }$ = 90 °, o cone de ordem zero degenera em um disco perpendicular à rede linear e os cones de cada ordem positiva e negativa de difração se tornam simétricos sobre a ordem zero. Para um dado ${\displaystyle \lambda }$ e espaçamento interatômico ${\displaystyle a}$, somente um número limitado de ordens de difração é possível, pois quando ${\displaystyle m}$ é tal que faz com que o membro direito da equação 4 exceda a unidade (ou - 1 na equação 7) nenhuma solução para ${\displaystyle \epsilon }$ ou ${\displaystyle \epsilon '}$ é possível^[8].

A equação de Bragg

Tabela 1: Fórmulas para cálculo de espaçamentos interplanares

A Equação 8 é a equação de Bragg para o sistema cúbico. A referência revela que o fator ${\displaystyle {\frac {a}{\surd h^{2}+K^{2}+l^{2}}}}$ /////////

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na equação 8 é simplesmente o espaçamento interplanar ${\displaystyle d}$ para o plano (hkl). A equação de Bragg (equação 9) na sua forma geral é então escrita^[8]:

${\displaystyle n\lambda ={\frac {2a}{\surd h^{2}+k^{2}+l^{2}}}sin\theta }$ (equação 8)/////////

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e

${\displaystyle n\lambda =2d\sin \theta }$ (equação 9)

Uma derivação analítica da equação de Bragg quando realizada para um sistema cristalino de simetria inferior conduz a uma expressão idêntica à equação 8 ou 9, exceto com um termo ${\displaystyle d}$ mais complicado. Estes são, em todos os casos, o espaçamento inter planar para o plano refletor. Assim, para obter a equação na forma especial para cálculos em um determinado sistema de cristais, é necessário apenas substituir em vez de ${\displaystyle d}$ a expressão (Tabela 1) para ${\displaystyle d_{(}hkl)}$, ou o sistema apropriado^[8].

A explicação de Bragg sobre os efeitos de difração de raios X em termos de "reflexão" de uma pilha de planos atômicos paralelos merece breve consideração, tanto por sua simplicidade quanto por seu interesse histórico. As unidades atômicas ou moleculares em um cristal encontram-se nas interseções de uma estrutura de espaço, que as proeminentes faces de cristal são aquelas mais densamente povoadas com pontos de rede (Átomos ou moléculas), e que, paralelamente a cada face ou plano de cristal possível, há uma série de planos idênticos equidistantes. Quando um feixe de raios X atinge uma face de cristal estendida e é refletido no sentido de Bragg o fenômeno não é uma reflexão de superfície, como com a luz comum. Paralelo à face é uma série efetivamente infinita de planos atômicos equidistantes que os raios X penetram a uma profundidade de vários milhões de camadas antes de ser apreciadamente absorvida. Em cada plano atómico pode considerar-se que uma porção de minuto do feixe é refletida. Para que esses minúsculos feixes refletidos surjam como um único feixe de intensidade apreciável, não devem ser absorvidos ao passar por camadas mais próximas da superfície à medida que emergem, e, muito mais importante, os feixes de camadas sucessivas não devem interferir e destruir uns aos outros. Se as condições podem ser arranjadas para que o reforço, em vez de destruição ocorre, todos os planos da série que não são muito profundas no cristal vai contribuir para a reflexão. Bragg demonstrou estas condições da seguinte maneira. Considere as linhas ${\displaystyle pp,p_{1}p_{1},p_{2}p_{2}}$ etc., da Fig. 9 para representar os traços de uma série de planos atômicos de espaçamento interplanar constante d paralelo a uma face de cristal^[8]. AB, A'B 'é um comboio de raios X incidentes de comprimento de onda X incidindo sobre os planos e refletindo na direção CD. Para a onda refletida de B 'para reforçar a refletida em C, ela deve chegar em C em fase com a onda ABC. Este será o caso se a diferença de percurso for um número inteiro de comprimentos de onda, isto é, se

${\displaystyle B'C-BC=n\lambda }$ (equação 9)/////////

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Por simples trigonometria

Figura 9: Geometria da analogia de "reflexão" de Bragg.

${\displaystyle B'C={\frac {d}{sin\theta }}}$ (equação 10)/////////

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e ${\displaystyle BC=B'Ccos2\theta ={\frac {d(cos\theta )}{sin\theta }}}$ (equação 11)/////////

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substituição na equação 10, ${\displaystyle {\frac {d}{sin\theta }}(1-cos\theta ={\frac {d}{sin\theta }}2sin^{2}\theta =n\lambda }$ (equação 12)v/////////

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e ${\displaystyle n\lambda =2dsin\theta }$ (equação 13)./////////

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Esta é a equação de Bragg, também conhecida como a lei de Bragg (equação 13). Para um cristal de um determinado espaçamento ${\displaystyle d}$, e para um dado comprimento de onda ${\displaystyle \lambda }$, as várias ordens ${\displaystyle n}$ de reflexão ocorrem apenas nos valores precisos do ângulo ${\displaystyle \theta }$ que satisfazem a equação 13. Em outros ângulos não há feixe refletido devido a interferência. Isto está em marcado contraste com a reflexão de um feixe de luz a partir de uma superfície de metal polido, que pode ter lugar ao longo de uma grande faixa angular contínua. O ponto de vista da reflexão proporciona assim uma Imagem de difração em cristais, e tem sido amplamente utilizado^[8].

Os instrumentos tradicionais de medida são o difratômetro (método de pó) e as câmaras de monocristais, estas últimas atualmente com seu uso restrito a situações específicas para determinação de parâmetros cristalográficos. No difratômetro tradicional a captação do eixo difratado é feita por meio de um detector, segundo um arranjo geométrico conhecido como Bragg-Brentano, que habilita a obtenção do ângulo ${\displaystyle 2\theta }$.^[8]

O feixe difratado é normalmente expresso através de picos que se destacam do background (ou linha de base), registrados num espectro de intensidade versus o ângulo ${\displaystyle 2\theta }$, constituindo o padrão difratométrico ou difratograma. O padrão difratométrico representa uma coleção de perfis de reflexões ( difrações ) individuais ( ou picos difratados), cada qual com sua altura, largura, área integrada, posição angular e caudas que decaem gradualmente a medida que se distanciam da posição de altura máxima do pico. A intensidade integrada é proporcional à intensidade de Bragg, I(hkI). A identificação das substâncias cristalinas ( através do método de pó) é obtida através da comparação do difratograma com padrões difratométricos de fases individuais disponibilizadas pelo ICDD ( International Center for Diffraction Data, antigo JCPDS-Joint Committe of Powder Diffraction Standards)^[8].

Relação entre a estrutura cristalina e os dados de raios X: posições de pico, intensidades e larguras

Posições de pico

Usando a Lei de Bragg, as posições de pico podem ser teoricamente calculadas.^[9]

${\displaystyle \theta =\arcsin({\frac {\lambda }{2d}})\mid }$ (equação 14)/////////

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Para uma célula unitária cúbica:

${\displaystyle d={\frac {a}{\surd N}}\mid }$ onde ${\displaystyle N=h^{2}+k^{2}+l^{2}}$/////////

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 e ${\displaystyle a}$ é o parâmetro de célula.

Assim, o valor medido ${\displaystyle 2\theta }$ pode estar relacionado com os parâmetros da célula.

Intensidade do pico

O fator de estrutura,${\displaystyle F_{h,k,l}}$ de uma reflexão, ${\displaystyle h,k,l}$, é dependente do tipo de átomos e suas posições ${\displaystyle (x,y,z)}$ na célula unitária.^[9]

${\displaystyle F_{h,k,l}=\sum _{i}f_{i}\exp 2\pi i(h_{xi}+k_{yi}+l_{zi})}$ (equação 15)/////////

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${\displaystyle f_{i}}$ é o fator de dispersão para o átomo ${\displaystyle i}$ e está relacionado ao seu número atômico.

A intensidade de um pico ${\displaystyle I_{h,k,l}}$ é dada por:

${\displaystyle {\displaystyle I_{h,k,l}}\propto |{\displaystyle F_{h,k,l}|^{2}}}$/////////

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As diferenças de intensidade se relacionam com mudanças na química (fator de dispersão). No entanto, mais comumente para amostras multifásicas, as alterações nas intensidades estão relacionadas com a quantidade de cada fase presente na amostra. São necessários fatores de calibração adequados para realizar a análise de fase quantitativa.

Largura do pico

A largura de pico β em radianos é inversamente proporcional ao tamanho do cristalito ${\displaystyle L_{h,k,l}}$ perpendicular ao plano ${\displaystyle h,k,l}$

${\displaystyle {\displaystyle L_{h,k,l}}={\frac {\lambda }{\beta cos\theta }}}$ (equação 16 - Equação de Scherrer)^[9]/////////

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Fatores que afetam as intensidades de difração

Os dados que geram os difratogramas são afetados não só por sobreposição dos planos de reflexão como também por efeitos físicos, instrumentais e por características de cada amostra^[8]. Entre os fatores estão:

• O fator de polarização;
• Fatores de Lorentz e velocidade;
• O fator temperatura;
• O fator de dispersão atômica;
• O fator de estrutura;
• O fator de multiplicidade;
• O fator de absorção;

O fator de polarização é de natureza física, causado pela ausência de parelelismo entre o feixe incidente e os planos de reflexão. Esse fator provoca na onda difratada um decréscimo na intensidade em função do ângulo de incidência. Fatores relacionados à preparação das amostras são considerados as maiores fontes de erros para as três informações fundamentais de cada reflexão: posição angular, intensidade e perfil de pico. O deslocamento da amostra devido à fuga do ponto focal óptica do difratômetro pode ocorrer devido a dificuldade de prensagem do pó na altura dos suportes compatíveis com o arranjo geométrico do equipamento (geometria de bragg), provocando um deslocamento na posição dos picos e um alargamento assimétrico dos perfis. Tais fatores reforçam a importância da configuração do equipamento e de sua calibração, minimizando seu efeito nas intensidades de picos de difratograma^[8].

Geometria Bragg-Brentano (BB)

Figura 10: Geometria Bragg-Brentano

A maioria dos difratômetros de pó usa a geometria de parafocagem de Bragg-Brentano, oferecendo análise de alta resolução e alta intensidade de feixe ao custo de requisitos de alinhamento muito precisos e amostras cuidadosamente preparadas. O ângulo de incidência ${\displaystyle \omega }$ entre a fonte de raios X e a amostra é sempre 1/2 do ângulo do detector ${\displaystyle 2\theta }$: 1) ${\displaystyle \omega =2\theta }$ ou ${\displaystyle \theta =2\theta }$: com o tubo de raios X fixo, a amostra gira em ${\displaystyle \theta }$/Min eo detector sempre a ${\displaystyle 2\theta }$/min; e 2) ${\displaystyle \theta :\theta }$ varredura: a amostra é fixa e o tubo gira na mesma taxa que o detector em ${\displaystyle \theta }$/min. A superfície da amostra é mantida no plano tangente do círculo de focagem definido por três pontos na amostra, fonte de raios X e fenda receptora. As fendas do feixe incidente e difratado movem-se sobre um círculo centrado na amostra. Os raios X divergentes da fonte atingiram a amostra em diferentes pontos da sua superfície. Durante o processo de difração os raios X são reorientados na fenda do detector (figura 10)^[10].